Es sei M der Einheitskreis in der komplexen Ebene. M ist eine eindimensionale Riemann- ix sehe Mannigfaltigkeit mit der Metrik e (ql, q2) = I (Xl - X2) + 2 kn I, wobei ql = e ], q2 = eixz und die ganze Zahl k so gewählt ist, daß I Xl - X2 + 2 kn I n. Ist feine auf M definierte Funktion, so kann man bezüglich dieser Metrik den Stetigkeits modul vonfbilden. Er gibt ein Maß für die Glätte vonfan. Der Satz von ]ACKSON verknüpft die Glätteeigenschaften von f mit der Geschwindigkeit der besten Approximation durch trigonometrische Polynome. Ist Es (!) = inf {sup I f (q) - t (q) I; t trig. Po- s s qeM nom vom Grade s} und fE ce (M), d. h. f(e) ist stetige Funktion auf M, so folgt EsCf) ce(s + 1)-e ws + l)-I, j(e. ex Also erhalten wir für w(t, j(e = O(t ), 0